Love4Math

Αλγεβρικές Παραστάσεις - Α' Μέρος

ΘΕΩΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τι είναι η μεταβλητή;

Μεταβλητή είναι ένα γράμμα το οποίο χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε έναν αριθμό.

Ποια παράσταση λέγεται αριθμητική και ποια αλγεβρική;

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς λέγεται αριθμητική παράσταση, ενώ μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές λέγεται αλγεβρική παράσταση.

Παραδείγματα:

Αριθμητικές παραστάσεις: $\;2\;+5\cdot8-\;9:3,\;$ $4\cdot3-(10-1\cdot2+5)+\;6,\;$ $\frac{12\;+\;3\cdot\;5}{16\;:\;4\;-\;7}$

Αλγεβρικές παραστάσεις: $\;2\cdot x-\;6+7-\;x,$ $\;15-\;6\cdot y+(7\cdot y-\;20),$ $\frac{3\;\cdot\;ω\;-\;21}{ω\;+\;4}$

Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις δεν γράφουμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού $(\cdot)$ μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών, καθώς και μεταξύ των μεταβλητών. Δηλαδή:
Aντί να γράψουμε $\;15-\;6\cdot x\cdot y\;+\;(7\cdot y-\;20)\;$ γράφουμε $\;15-\;6xy\;+\;(7y-\;20)$

Τι είναι όρος σε μια αλγεβρική παράσταση;

Σε μια αλγεβρική παράσταση όλοι οι προσθετέοι λέγονται όροι της. Δηλαδή ο κάθε όρος χωρίζεται από τον άλλον με το σύμβολο $\pmb{+},$ ή με το σύμβολο $\pmb{-}.$

Παραδείγματα:

Η αλγεβρική παράσταση $\;3y-\;2x\;+\;8\;-\;10y\;$ έχει τέσσερις όρους: $\;3\,y,$ $-\;2\,x,$ $8,$ $-\;10\,y.$

Η αλγεβρική παράσταση $\;\frac{12\;-\;8y}{7x\;+\;9\;-\;y}\;$ έχει πέντε όρους: $12,$ $-\;8\,y,$ $7\,x,$ $9,$ $-\;y.$

Τι είναι η αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης;

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, θα προκύψει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρικής παράστασης.

Παραδείγματα:

Η αλγεβρική παράσταση $\;8\,x+3\,y\;$ για $\;x=2$ και $\;y=-1,$ έχει αριθμητική τιμή:

$8\cdot2 + 3\cdot(-1)=16-3=13$

Η αλγεβρική παράσταση $\;-\,2\,α+5\,β-\,7\;$ για $\;α=-1$ και $\;β=3,$ έχει αριθμητική τιμή:

$(-2)\cdot(-1)+\,5\cdot3\,-7=2\,+\,15-7=10$

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

Η επιμεριστική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα που συνδιάζει την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό και μπορεί να πάρει δύο μορφές. Δηλαδή ισχύει:

$\bm{α\,β\;+\;α\,γ=α\;(β+γ)}\;\;$ και $\;\;\bm{α\;(β+γ)=α\,β\;+\;α\,γ}$

Η επιμεριστική ιδιότητα μας βοηθάει είτε να γράψουμε μια αλγεβρική παράσταση σε απλούστερη μορφή, είτε να κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων. Στο α' μέρος θα δούμε πως την χρησιμοποιούμε για να απλοποιήσουμε μία αλγεβρική παράσταση, ενώ στο β' μέρος πως την χρησιμοποιούμε για να κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων.

Α' ΜΕΡΟΣ - ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ

Ποιοι όροι λέγονται όμοιοι;

Όμοιοι όροι λέγονται οι όροι που έχουν την ίδια μεταβλητή και διαφορετικό αριθμό.

Παραδείγματα:

Οι όροι $\;2\,x\;$ και $\;-3\,x\;$ είναι όμοιοι μεταξύ τους γιατί έχουν την ίδια μεταβλητή $x.$

Οι όροι $\;4\,y,$ $-7\,y\;$ και $\;\frac{1}{2}$ $y$ είναι όμοιοι μεταξύ τους γιατί έχουν την ίδια μεταβλητή $y.$

Τι είναι η αναγωγή ομοίων όρων;

Η διαδικασία στην οποία γράφουμε μια αλγεβρική παράσταση σε απλούστερη μορφή ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων. Στην αναγωγή ομοίων όρων χρησιμοποιούμε την μορφή:

$\bm{α\,β\;+\;α\,γ=α\;(β+γ)}\;\;$ ή $\;\;\bm{α\,β\;+\;α\,γ=(β+γ)\,α}$

Για να απλοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση βρίσκουμε πρώτα τους όμοιους όρους. Για κάθε ομάδα όμοιων όρων που βρήκαμε, βάζουμε σε μια παρένθεση τους αριθμούς από κάθε όρο και πολλαπλασιάζουμε την παρένθεση με την κοινή τους μεταβλητή. Μετά κάνουμε την πράξη μέσα στην παρένθεση και καταλήγουμε σε μια αλγεβρική παράσταση με λιγότερους όρους.

Παραδείγματα:

$1)\;3{\color{blue}x}\;-\;5{\color{blue}x}\;+\;7{\color{blue}x}=(3\,-\,5\,+\,7)\,{\color{blue}x}=5{\color{blue}x}$

Στο παράδειγμα αυτό έχουμετρεις όρους, όπου όλοι οι όροι έχουν την ίδια μεταβλητή $\color{blue}x,$ και άρα είναι όλοι όμοιοι μεταξύ τους. Άρα θα βάλουμε σε μια παρένθεση τους τρεις αριθμούς από κάθε όρο και θα πολλαπλασιάσουμε την παρένθεση αυτή με την κοινή μεταβλητή $\color{blue}x.$ Μετά κάνουμε την πράξη μέσα στην παρένθεση και έτσι καταλήγουμε σε μια αλγεβρική παράσταση που έχει έναν μόνο όρο.

$2)\;5{\color{magenta}y}\;+\;3{\color{blue}x}\;-\;8{\color{magenta}y}\;+\;{\color{blue}x}=3{\color{blue}x}\;+\;{\color{blue}x}\;+\;5{\color{magenta}y}\;-\;8{\color{magenta}y}=(3\,+\,1)\,{\color{blue}x}+(5\,-\,8)\,{\color{magenta}y}=4\,{\color{blue}x}-\;3\,{\color{magenta}y}$

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε τέσσερις όρους, που όμως δεν είναι όλοι οι όροι όμοιοι μεταξύ τους. Οι δύο όροι έχουν μεταβλητή το $\color{blue}x,$ ενώ οι άλλοι δύο όροι έχουν μεταβλητή το $\color{magenta}y.$ Αν θέλουμε μπορούμε να αλλάξουμε την σειρά των όρων και να βάλουμε μαζί τους όμοιους όρους. Άρα έχουμε δύο ομάδες όμοιων όρων, οπότε για κάθε ομάδα θα βάλουμε τους αριθμούς από κάθε όρο σε μια παρένθεση και θα πολλαπλασιάσουμε την παρένθεση με την δική της μεταβλητή. Μετά κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και καταλήγουμε σε έναν όρο από κάθε ομάδα.

$3)\;9\;+\;{\color{blue}x}\;-\;4\;-\;2{\color{blue}x}\;-\;6={\color{blue}x}\;-\;2{\color{blue}x}\;+\;9\,-\,4-\,6=(1\,-\,2)\,{\color{blue}x}+\;9\,-\,4-\,6\,=-\;{\color{blue}x}-\;1$

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε πέντε όρους, που όμως δεν είναι όλοι οι όροι όμοιοι μεταξύ τους. Οι δύο όροι έχουν μεταβλητή το $\color{blue}x,$ ενώ οι υπόλοιποι όροι είναι αριθμοί. Αν θέλουμε μπορούμε να αλλάξουμε την σειρά των όρων και να βάλουμε μαζί τους όμοιους όρους. Άρα έχουμε δύο ομάδες όμοιων όρων, οπότε για την ομάδα που έχει το $\color{blue}x,$ θα βάλουμε τους αριθμούς από κάθε όρο σε μια παρένθεση και θα πολλαπλασιάσουμε την παρένθεση με το $\color{blue}x,$ ενώ για την άλλη ομάδα που είναι μόνο αριθμοί δεν χρειάζεται να τους βάλουμε σε παρένθεση. Μετά κάνουμε τις πράξεις και καταλήγουμε σε έναν όρο από κάθε ομάδα.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρεις ποιοι από τους όρους

\; 15\,x,

+\; 20\,y,

-\; 8α,

-\; 4\,x,

9\,y,

-\; 4\,y,

+\; 2α

είναι όμοιοι μεταξύ τους.

Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις

α)\; 3\,α -\,7\,α +\,11\,α = \;

β)\, -\,6\,x -\,2\,x +\,12\,x = \;

γ)\; 4\,β +\,6\,β -\,8\,β = \;

δ)\, -\,5\,y -\,y +\,9\,y -\,4\,y = \;

ε)\; 9\,λ -\,2\,λ -\,13\,λ = \;

στ)\; 3\,ω -\,5\,ω +\,ω -\,7\,ω =

$α)\; 3α -\,7α +\,11α = (3\, -\, 7\, +\, 11)\,α = 7α$

$β)\, -\,6x -\,2x +\,12x = (-\, 6\, -\, 2\, +\, 12)\,x = 4x$

$γ)\; 4β +\,6β -\,8β = (4\, +\, 6\, -\, 8)\,β = 2β$

$δ)\, -\,5y -\,y +\,9y -\,4y = (-\, 5\, -\, 1\, +\, 9\, -\, 4)\,y = -\,y$

$ε)\; 9λ -\,2λ -\,13λ = (9\, -\, 2\, -\, 13)\,λ = -\,6λ$

$στ)\; 3ω -\,5ω +\,ω -\,7ω = (3\, -\, 5\, +\, 1\, -\, 7)\,ω = -\,8\,ω$

Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις

α)\; 2\,x -\,4\,y +\,10\,x +\,8\,y -\,3\,x = \;

β)\, -\,9\,α +\,5\,β +\,2\,β -\,3\,α -\,6\,β = \;

γ)\, -\,10\,ω -\,7 +\,2\,ω +\,ω +\,5 = \;

δ)\, 4\,x -\,6\,α -\,7\,x -\,8\,α = \;

ε)\, -\,1 -\,4\,y +\,10\,y +\,2 = \;

$α)\; 2\,x -\,4\,y +\,10\,x +\,8\,y -\,3\,x = (2\, +\, 10\, -\,3)\,x\, +\, (-\,4\, +\,8)\,y = 9\,x +\,4\,y \;$

$β)\, -\,9\,α +\,5\,β +\,2\,β -\,3\,α -\,6\,β = (-\,9 -\,3)\,α\, +\, (5\, +\,2\, -\,6)\,β = -12\,α +\,β \;$

$γ)\, -\,10\,ω -\,7 +\,2\,ω +\,ω +\,5 = (-\,10\, +\,2\, +\,1)\,ω\, -\,7\, +\,5 = -\,7\,ω -\,2 \;$

$δ)\; 4\,x -\,6\,α -\,7\,x -\,8\,α = (4\, -\,7)\,x\, +\, (-\,6\, -\,8)\,α = -\,3\,x -\,14\,α \;$

$ε)\, -\,1 -\,4\,y +\,10\,y +\,2 = (-\,4\, +\,10)\,y -\,1\, +\,2 = 6\,y +\,1 \;$

Να υπολογήσεις την τιμή της παράστασης

\; Α = \; 5\,x -\,3\,y -\,1 +\,5\,y\, -\,8\,x \;

όταν

x = 3

και

y = -\,2

Θα πρέπει πρώτα να απλοποιήσουμε την παράσταση οπότε έχουμε:

$\; Α = \; 5\,x -\,3\,y -\,1 +\,5\,y\, -\,8\,x = -\,3\,x +\,2\,y -\,1$

Θα αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με τους αριθμούς, οπότε για $x = 3$ και $y = -\,2$ έχουμε:

$\; Α = -\,3\,x +\,2\,y -\,1 = (-3) \cdot 3\, +\, 2\,(-2) -1 = -\,9\, -\,4\, -1 = -14$