Love4Math

Ισοδύναμα Κλάσματα

ΘΕΩΡΙΑ

Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα;

Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα του όλου και γράφουμε:

$\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}$

Πώς ελέγχουμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα;

Όταν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα τότε τα χιαστί γινόμενα είναι ίσα.Δηλαδή ισχύει:

Αν $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}$ τότε $α\cdotδ=β\cdotγ$

Παραδείγματα:

Για να δούμε αν το κλάσμα $\frac{1}{4}$ είναι ισοδύναμο με το κλάσμα $\frac{2}{8}$ θα πάρουμε τα χιαστί γινόμενα.

Επειδή ισχύει: $1\cdot8=4\cdot2$ τότε τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.

Αφού τα κλάσματα είναιισοδύναμα τότε αποτελούν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών.

Αυτό σημαίνει ότι όταν έχουμε έναν κύκλο ή δύο ίσους κύκλους το $\frac{1}{4}$ του κύκλου είναι ίσο με τα $\frac{2}{8}$ του κύκλου.

Δύο ίσοι κύκλοι που δείχουν ισοδύναμα κλάσματα στο δημοτικό.

Για να δούμε αν το κλάσμα $\frac{3}{5}$ είναι ισοδύναμο με το κλάσμα $\frac{2}{6}$ θα πάρουμε τα χιαστί γινόμενα.

Επειδή ισχύει: $3\cdot6\not=5\cdot2$ τότε τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.

Αφού τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα τότε δεν αποτελούν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών.

Αυτό σημαίνει ότι όταν έχουμε έναν κύκλο ή δύο ίσους κύκλους τα $\frac{3}{5}$ του κύκλου δεν είναι ίσα με τα $\frac{2}{6}$ του κύκλου.

Δύο ίσοι κύκλοι που δείχουν ότι τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα στο δημοτικό.

Πώς φτιάχνουμε ισοδύναμα κλάσματα;

Για να φτιάξουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα ενός κλάσματος μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε είτε να διαιρέσουμε τους δύο όρους του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό. Δηλαδή ισχύει:

$\frac{α}{β}=\frac{α\,\cdot\,κ}{β\,\cdot\,κ}$ είτε $\frac{α}{β}=\frac{α\,:\,κ}{β\,:\,κ}$

Παραδείγματα:

Για να βρούμε ένα ισοδύναμο κλάσμα του κλάσματος $\frac{2}{3}$ μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με έναν αριθμό, για παράδειγμα τον αριθμό $3$ έτσι έχουμε:

$\frac{2}{3}=\frac{2\,\cdot\,3}{3\,\cdot\,3}=\frac{6}{9}$

Όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα αφού τα κλάσματα είναι ισοδύναμα αποτελούν το ίδιο μέρος δύο ίσων κύκλων.

Ένα ισοδύναμο κλάσμα προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των όρων του με έναν αριθμό στο δημοτικό.

Για να βρούμε ένα ισοδύναμο κλάσμα του κλάσματος $\frac{4}{10}$ μπορούμε να διαιρέσουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με έναν αριθμό, για παράδειγμα τον αριθμό $2$ έτσι έχουμε:

$\frac{4}{10}=\frac{4\,:\,2}{10\,:\ 2}=\frac{2}{5}$

Όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα αφού τα κλάσματα είναι ισοδύναμα αποτελούν το ίδιο μέρος δύο ίσων κύκλων.

Ένα ισοδύναμο κλάσμα προκύπτει από την διαίρεση των όρων του με έναν αριθμό στο δημοτικό.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να εξετάσεις αν τα κλάσματα

\frac{2}{3}

και

\frac{5}{6}

είναι ισοδύναμα.

Σύμφωνα με τον ορισμό για να είναι τα κλάσματα $\frac{2}{3}$ και $\frac{5}{6}$ ισοδύναμα θα πρέπει τα χιαστί γινόμενα να είναι ίσα.

Δηλαδή θα πρέπει: $2\, \cdot\, 6 = 12$ και $3\, \cdot\, 5 = 15.$

Βλέπουμε όμως ότι τα γινόμενα δεν είναι ίσα και αυτό σημαίνει ότι τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.

Να βρεις ένα ισοδύναμο κλάσμα του

\frac{6}{10}

Για να βρούμε ένα ισοδύναμο κλάσμα του $\frac{6}{10}$ θα πολλαπλασιάσουμε το $6$ και το $10$ με τον ίδιο αριθμό.

Επιλέγουμε το $3$ , οπότε έχουμε: $\frac{6}{10} = \frac{6\, \cdot\, 3}{10\, \cdot\, 3} = \frac{18}{30}$

Αν θέλουμε αντί να πολλαπλασιάσουμε, μπορούμε να διαιρέσουμε το $6$ και το $10$ με τον ίδιο αριθμό.

Επιλέγουμε το $2$ , οπότε έχουμε: $\frac{6}{10} = \frac{6\, :\, 2}{10\, :\, 2} = \frac{3}{5}$

Να συμπληρώσεις τις ισότητες:

\frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{...}{...} = \frac{...}{...} = \frac{...}{...}

Για να συμπληρώσουμε τις ισότητες ουσιαστικά θα φτιάξουμε ισοδύναμα κλάσματα του $\frac{2}{3}$ .

Παρατηρούμε ότι το κλάσμα $\frac{6}{9}$ έχει προκύψει με πολλαπλασιασμό του $2$ και του $3$ με τον αριθμό $3.$

Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το $2$ και το $3$ με έναν αριθμό, εκτός του $3.$

Επιλέγουμε το $4$ , οπότε έχουμε: $\frac{2}{3} = \frac{2\, \cdot\, 4}{3\, \cdot\, 4} = \frac{8}{12}$

Επιλέγουμε το $5$ , οπότε έχουμε: $\frac{2}{3} = \frac{2\, \cdot\, 5}{3\, \cdot\, 5} = \frac{10}{15}$

Επιλέγουμε το $7$ , οπότε έχουμε: $\frac{2}{3} = \frac{2\, \cdot\, 7}{3\, \cdot\, 7} = \frac{14}{21}$

Οπότε μία απάντηση είναι: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{10}{15} = \frac{14}{21}$ .

Όπως καταλαβαίνουμε αν είχαμε επιλέξει διαφορετικούς αριθμούς η απάντηση θα ήταν διαφορετική.

Να βρεις τον όρο που λείπει στα κλάσματα

\frac{3}{4} = \frac{15}{...}

ώστε να είναι ισοδύναμα.

Για να βρούμε τον όρο που λείπει $\frac{3}{4} = \frac{15}{...}$ θα χρησιμοποιήσουμε τα χιαστί γινόμενα.

Εφόσον τα κλάσματα είναι ισοδύναμα, τότε τα χιαστί γινόμενα θα είναι ίσα.

Αφού $4\, \cdot\, 15 = 60$ τότε θα πρέπει και το άλλο γινόμενο να είναι ίσο με $60$ οπότε έχουμε: $60\, :\, 3 = 20$

Άρα ο όρος που λείπει είναι ο αριθμός $20$

Να μετατρέψεις το κλάσμα

\frac{8}{5}

σε ισοδύναμο κλάσμα με αριθμητή το

32

Για να μετατρέψουμε το κλάσμα $\frac{8}{5}$ σε ισοδύναμο κλάσμα με αριθμητή το $32$ σημαίνει ότι έχουμε την σχέση:

$\frac{8}{5} = \frac{32}{...}$ και θα πρέπει να βρούμε τον όρο που λείπει.

Αφού τα κλάσματα είναι ισοδύναμα, θα πάρουμε τα χιαστί γινόμενα και θα πρέπει να είναι ίσα.

Έτσι έχουμε $32\, \cdot\, 5 = 160$ και άρα θα πρέπει και το άλλο γινόμενο να είναι ίσο με $160$ οπότε έχουμε: $160\, :\, 8 = 20$

Άρα το ζητούμενο κλάσμα είναι το $\frac{32}{20}$

Ισοδύναμα Κλάσματα

ΘΕΩΡΙΑ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ