Love4Math

Απλοποίηση Κλασμάτων

ΘΕΩΡΙΑ

Τι είναι η απλοποίηση κλασμάτων;

Στην ενότηταισοδύναμα κλάσματαείδαμε ότι μπορούμε να φτιάξουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα ενός κλάσματος, διαιρώντας τους όρους του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό. Η διαδικασία αυτή κατά την οποία όταν διαιρέσουμε τους όρους ενός κλάσματος με έναν αριθμό και καταλήγουμε σε ένα κλάσμα με μικρότερους όρους, λέγεται απλοποίηση.

Ποιο κλάσμα λέγεται ανάγωγο;

Ανάγωγο λέγεται το κλάσμα πουδεν μπορεί να απλοποηθεί άλλο.

Παραδείγματα:

Τα κλάσματα $\frac{1}{3},$ $\frac{2}{5},$ $\frac{6}{7},$ $\frac{10}{21}$ και $\frac{22}{31}$ είναι ανάγωγα.

Ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο ότανδεν υπάρχει κοινός διαιρέτης, εκτός του $1,$ μεταξύ αριθμητή και παρονομαστή. Δηλαδή οΜέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ )του αριθμητή και του παροvομαστή είναι το $1.$

Πώς κάνουμε απλοποίηση σε ένα κλάσμα;

Για να κάνουμε απλοποίηση ενός κλάσματος μπορούμε είτε να χρησιμοποιήσουμε τα κριτήρια διαιρετότητας και να κάνουμε συνεχείς διαιρέσεις με τους όρους του κλάσματος, είτε να βρούμε τονΜέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ) των όρων του κλάσματος και τους διαιρούμε με τον αριθμό αυτόν.

Παραδείγματα:

Για να απλοποιήσουμε το κλάσμα $\frac{6}{18}$ θα χρησιμοποιήσουμε τα κριτήρια διαιρετότητας και θα βρούμε έναν κοινό διαιρέτη των αριθμών $6$ και $18.$

Ένας διαιρέτης των αριθμών $6$ και $18$ είναι ο αριθμός $\color{magenta}2,$ και θα διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον αριθμό αυτόν. Έτσι θα καταλήξουμε σε ένα κλάσμα με μικρότερους όρους, και συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε σε ανάγωγο κλάσμα. Οπότε έχουμε:

$\frac{6}{18}=\frac{6\,:\,\color{magenta}2}{18\,:\,\color{magenta}2}=\frac{3}{9}=\frac{3\,:\,\color{purple}3}{9\,:\,\color{purple}3}=\frac{1}{3}$

Για να απλοποιήσουμε το κλάσμα $\frac{6}{18}$ θα βρούμε τον Μ.Κ.Δ των αριθμών $6$ και $18.$

Ο Μ.Κ.Δ των αριθμών $6$ και $18,$ είναι ο αριθμός $6$

$M.K.Δ(6\;,18)=\color{magenta}6$

Αφού βρήκαμε τον Μ.Κ.Δ θα διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον αριθμό αυτόν και θα καταλήξουμε σε ανάγωγο κλάσμα, χωρίς να χρειαστεί να κάνουμε άλλη διαίρεση. Οπότε έχουμε:

$\frac{6}{18}=\frac{6\,:\,\color{magenta}6}{18\,:\,\color{magenta}6}=\frac{1}{3}$

Όταν απλοποιούμε ένα κλάσμα τότε πάντα καταλήγουμε σε ανάγωγο κλάσμα.
Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όποιο τρόπο μας βολεύει. Παρόλ' αυτά είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε τον τρόπο με τον Μ.Κ.Δ.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να απλοποιήσεις τα κλάσματα:

α)

\, \frac{10}{12}

β)

\, \frac{8}{20}

γ)

\, \frac{18}{24}

δ)

\, \frac{9}{15}

ε)

\, \frac{24}{36}

στ)

\, \frac{15}{60}

$α)$ $\; \frac{10}{12} = \frac{10\, :\, 2}{12\, :\, 2} = \frac{5}{6}$ ή $Μ.Κ.Δ ( 10, 12 ) = 2,$ άρα $\, \frac{10}{12} = \frac{10\, :\, 2}{12\, :\, 2} = \frac{5}{6}$

$β)$ $\; \frac{8}{20} = \frac{8\, :\, 2}{20\, :\, 2} = \frac{4}{10} = \frac{4\, :\, 2}{10\, :\, 2} = \frac{2}{5}$ ή $Μ.Κ.Δ ( 8, 20 ) = 4,$ άρα $\, \frac{8}{20} = \frac{8\, :\, 4}{20\, :\, 4} = \frac{2}{5}$

$γ)$ $\; \frac{18}{24} = \frac{18\, :\, 2}{24\, :\, 2} = \frac{9}{12} = \frac{9\, :\, 3}{12\, :\, 3} = \frac{3}{4}$ ή $Μ.Κ.Δ ( 18, 24 ) = 6,$ άρα $\, \frac{18}{24} = \frac{18\, :\, 6}{24\, :\, 6} = \frac{3}{4}$

$δ)$ $\; \frac{9}{15} = \frac{9\, :\, 3}{15\, :\, 3} = \frac{3}{5}$ ή $Μ.Κ.Δ ( 9, 15 ) = 3,$ άρα $\, \frac{9}{15} = \frac{9\, :\, 3}{15\, :\, 3} = \frac{3}{5}$

$ε)$ $\; \frac{24}{36} = \frac{24\, :\, 2}{36\, :\, 2} = \frac{12}{18} = \frac{12\, :\, 2}{18\, :\, 2} = \frac{6}{9} = \frac{6\, :\, 3}{9\, :\, 3} = \frac{2}{3}$ ή $Μ.Κ.Δ ( 24, 36 ) = 12,$ άρα $\, \frac{24}{36} = \frac{24\, :\, 12}{36\, :\, 12} = \frac{2}{3}$

$στ)$ $\; \frac{15}{60} = \frac{15\, :\, 3}{60\, :\, 3} = \frac{5}{20} = \frac{5\, :\, 5}{20\, :\, 5} = \frac{1}{4}$ ή $Μ.Κ.Δ ( 15, 60 ) = 15,$ άρα $\, \frac{15}{60} = \frac{15\, :\, 15}{60\, :\, 15} = \frac{1}{4}$

Να εξετάσεις ποια από τα κλάσματα είναι ανάγωγα:

α)

\, \frac{1}{4}

β)

\, \frac{6}{8}

γ)

\, \frac{12}{25}

δ)

\, \frac{4}{9}

ε)

\, \frac{10}{15}

στ)

\, \frac{5}{21}

$α)$ $\; \frac{1}{4}$ είναι ανάγωγο, αφού δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης μεταξύ του $1$ και του $4,$ ή $Μ.Κ.Δ ( 1, 4 ) = 1$

$β)$ $\; \frac{6}{8}$ δεν είναι ανάγωγο, αφού υπάρχει κοινός διαιρέτης μεταξύ του $6$ και του $8,$ ή $Μ.Κ.Δ ( 6, 8 ) = 2$

$γ)$ $\; \frac{12}{25}$ είναι ανάγωγο, αφού δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης μεταξύ του $12$ και του $25,$ ή $Μ.Κ.Δ ( 12, 25 ) = 1$

$δ)$ $\; \frac{4}{9}$ είναι ανάγωγο, αφού δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης μεταξύ του $4$ και του $9,$ ή $Μ.Κ.Δ ( 4, 9 ) = 1$

$ε)$ $\; \frac{10}{15}$ δεν είναι ανάγωγο, αφού υπάρχει κοινός διαιρέτης μεταξύ του $10$ και του $15,$ ή $Μ.Κ.Δ ( 10, 15 ) = 5$

$στ)$ $\; \frac{5}{21}$ είναι ανάγωγο, αφού δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης μεταξύ του $5$ και του $21,$ ή $Μ.Κ.Δ ( 5, 21 ) = 1$

Να μετατρέψεις τα κλάσματα

α)

\, \frac{3}{9}

β)

\, \frac{12}{20}

γ)

\, \frac{6}{11}

δ)

\, \frac{14}{21}

ε)

\, \frac{7}{20}

σε ανάγωγα, όπου αυτό γίνεται.

$α)$ $\; \frac{3}{9}\,$ αφού $Μ.Κ.Δ ( 3, 9 ) = 3,$ τότε το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο και άρα $\, \frac{3}{9} = \frac{3\, :\, 3}{9\, :\, 3} = \frac{1}{3}$

$β)$ $\; \frac{12}{20}\,$ αφού $Μ.Κ.Δ ( 12, 20 ) = 4,$ τότε το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο και άρα $\, \frac{12}{20} = \frac{12\, :\, 4}{20\, :\, 4} = \frac{3}{5}$

$γ)$ $\; \frac{6}{11}\,$ αφού $Μ.Κ.Δ ( 6, 11 ) = 1,$ τότε το κλάσμα είναι ανάγωγο.

$δ)$ $\; \frac{14}{21}\,$ αφού $Μ.Κ.Δ ( 14, 21 ) = 7,$ τότε το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο και άρα $\, \frac{14}{21} = \frac{14\, :\, 7}{21\, :\, 7} = \frac{2}{3}$

$ε)$ $\, \frac{7}{20}\,$ αφού $Μ.Κ.Δ ( 7, 20 ) = 1,$ τότε το κλάσμα είναι ανάγωγο.

Απλοποίηση Κλασμάτων

ΘΕΩΡΙΑ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ