Love4Math

Πρόσθεση και Αφαίρεση Κλασμάτων

ΘΕΩΡΙΑ

Πώς κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση μεταξύ ομόνυμων κλασμάτων;

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα προσθέτουμε ή αφαιρούμε αντίστοιχα τους αριθμητές και αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή.

Παραδείγματα:

Για να κάνουμε την πρόσθεση $\frac{2}{3}+\frac{5}{3}$ θα προσθέσουμε τους αριθμητές και θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή.

$\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=\frac{2\;+\;5}{3}=\frac{7}{3}$

Για να κάνουμε την αφαίρεση $\frac{10}{7}-\frac{4}{7}$ θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές και θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή.

$\frac{10}{7}-\frac{4}{7}=\frac{10\;-\;4}{7}=\frac{6}{7}$

Πώς κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση μεταξύ ετερώνυμων κλασμάτων;

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα πρέπει πρώτα να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. Αφού τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα συνεχίζουμε την πράξη, όπως είδαμε στα ομώνυμα κλάσματα.

Παραδείγματα:

Για να κάνουμε την πρόσθεση $\frac{2}{3}+\frac{5}{12}$ θα μετατρέψουμε πρώτα τα κλάσματα σε ομώνυμα.

Για να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα θα βρούμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών $Ε.Κ.Π(3,12)=12$ και μετά θα βάλουμε 'καπελάκια' πάνω από κάθε κλάσμα.

$\frac{2}{3}+\frac{5}{12}=\overset{\overset{\color{magenta}4}{\smile}}{\frac{2}{3}}+\overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{5}{12}}=\frac{2\,\cdot\,\color{magenta}4}{3\,\cdot\,\color{magenta}4}+\frac{5\,\cdot\,\color{magenta}1}{12\,\cdot\,\color{magenta}1}=$

$=\frac{8}{12}+\frac{5}{12}=\frac{13}{12}$

Για να κάνουμε την αφαίρεση $\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ θα μετατρέψουμε πρώτα τα κλάσματα σε ομώνυμα.

Για να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα θα βρούμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών $Ε.Κ.Π(5,2)=10$ και μετά θα βάλουμε 'καπελάκια' πάνω από κάθε κλάσμα.

$\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\overset{\overset{\color{magenta}2}{\smile}}{\frac{3}{5}}-\overset{\overset{\color{magenta}5}{\smile}}{\frac{1}{2}}=\frac{3\,\cdot\,\color{magenta}2}{5\,\cdot\,\color{magenta}2}-\frac{1\,\cdot\,\color{magenta}5}{2\,\cdot\,\color{magenta}5}=$

$=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}$

Πώς κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση μεταξύ ακέραιου και κλάσματος;

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε τον ακέραιο σε κλάσμα. Ένας ακέραιος γράφεται και ως κλάσμα με παρονομαστή το $1.$ Έτσι πάντα καταλήγουμε σε ετερώνυμα κλάσματα και συνεχίζουμε την πράξη, όπως είδαμε στα ετερώνυμα κλάσματα.

Παραδείγματα:

Για να κάνουμε την πρόσθεση $3\;+$ $\frac{5}{6}\;$ θα μετατρέψουμε πρώτα το $3$ σε κλάσμα, οπότε έχουμε:

$3$ $+\;\frac{5}{6}=\frac{3}{1}+\frac{5}{6}$

Έτσι καταλήγουμε σε ετερώνυμα κλάσματα και θα τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. $Ε.Κ.Π(1,6)=6$ και μετά βάζουμε 'καπελάκια.'

$\frac{3}{1}+\frac{5}{6}=\overset{\overset{\color{magenta}6}{\smile}}{\frac{3}{1}}+\overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{5}{6}}=\frac{3\,\cdot\,\color{magenta}6}{1\,\cdot\,\color{magenta}6}+\frac{5\,\cdot\,\color{magenta}1}{6\,\cdot\,\color{magenta}1}=$

$=\frac{18}{6}+\frac{5}{6}=\frac{23}{6}$

Για να κάνουμε την αφαίρεση $2\;-$ $\frac{1}{4}\;$ θα μετατρέψουμε πρώτα το $2$ σε κλάσμα, οπότε έχουμε:

$2$ $-\;\frac{1}{4}=\frac{2}{1}-\frac{1}{4}$

Έτσι καταλήγουμε σε ετερώνυμα κλάσματα και θα τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα. $Ε.Κ.Π(1,4)=4$ και μετά βάζουμε 'καπελάκια'.

$\frac{2}{1}-\frac{1}{4}=\overset{\overset{\color{magenta}4}{\smile}}{\frac{2}{1}}-\overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{1}{4}}=\frac{2\,\cdot\,\color{magenta}4}{1\,\cdot\,\color{magenta}4}-\frac{1\,\cdot\,\color{magenta}1}{4\,\cdot\,\color{magenta}1}=$

$=\frac{8}{4}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

Αν δεν γνωρίζεις πως μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα δες την ενότητα:Ομώνυμα και Ετερώνυμα Κλάσματα.
Για να προσθέσουμε περισσότερα από δύο κλάσματα ακολουθούμε τα ίδια βήματα που κάνουμε όταν έχουμε δύο κλάσματα.
Αν το κλάσμα που προκύπτει μετά την πράξη μπορεί να απλοποιηθεί τότε πάντα κάνουμε την απλοποίηση και καταλήγουμε σε ανάγωγο κλάσμα.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να κάνεις τις πράξεις:

α)

\, \frac{3}{5} + \frac{1}{5}\;

=

β)

\, \frac{5}{8} - \frac{3}{8}\;

=

γ)

\, \frac{10}{3} - \frac{7}{3}\;

=

δ)

\, \frac{6}{7} + \frac{4}{7}\;

=

ε)

\, \frac{5}{12} + \frac{1}{12}\;

=

στ)

\, \frac{14}{9} - \frac{8}{9}\;

=

ζ)

\, \frac{5}{11} - \frac{3}{11}\;

=

η)

\, \frac{3}{4} + \frac{9}{4}\;

=

$α)$ $\; \frac{3}{5} + \frac{1}{5}\;$ $=\;$ $\frac{4}{5}$

$β)$ $\; \frac{5}{8} - \frac{3}{8}\;$ $=\;$ $\frac{2}{8}\;$ $=\;$ $\frac{2\; :\; 2}{8\; :\; 2}\;$ $=\;$ $\frac{1}{4}$

$γ)$ $\; \frac{10}{3} - \frac{7}{3}\;$ $=\;$ $\, \frac{3}{3}\;$ $=\;$ $1$

$δ)$ $\; \frac{6}{7} + \frac{4}{7}\;$ $=\;$ $\frac{10}{7}$

$ε)$ $\; \frac{5}{12} + \frac{1}{12}\;$ $=\;$ $\frac{6}{12}\;$ $=\;$ $\frac{6\; :\; 6}{12\; :\; 6}\;$ $=\;$ $\frac{1}{2}$

$στ)$ $\; \frac{14}{9} - \frac{8}{9}\;$ $=\;$ $\frac{6}{9}\;$ $=\;$ $\frac{6\; :\; 3}{9\; :\; 3}\;$ $=\;$ $\frac{2}{3}$

$ζ)$ $\; \frac{5}{11} - \frac{3}{11}\;$ $=\;$ $\frac{2}{11}$

$η)$ $\; \frac{3}{4} + \frac{9}{4}\;$ $=\;$ $\, \frac{12}{4}\;$ $=\;$ $3$

Να κάνεις τις πράξεις:

α)

\, \frac{5}{6} - \frac{1}{4}\;

=

β)

\, \frac{2}{7} + \frac{8}{21}\;

=

γ)

\, \frac{7}{8} + \frac{9}{2}\;

=

δ)

\, \frac{6}{5} - \frac{2}{3}\;

=

$α)$ $\; \frac{5}{6} - \frac{1}{4}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (4, 6) = 12\;$ τότε

$\; \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \overset{\overset{\color{magenta}2}{\smile}}{\frac{5}{6}} - \overset{\overset{\color{magenta}3}{\smile}}{\frac{1}{4}} = \frac{5\, \cdot\, \color{magenta}2}{6\, \cdot\, \color{magenta}2} - \frac{1\, \cdot\, \color{magenta}3}{4\, \cdot\, \color{magenta}3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

$β)$ $\; \frac{2}{7} + \frac{8}{21}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (7, 21) = 21\;$ τότε

$\; \frac{2}{7} + \frac{8}{21} = \overset{\overset{\color{magenta}3}{\smile}}{\frac{2}{7}} + \overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{8}{21}} = \frac{2\, \cdot\, \color{magenta}3}{7\, \cdot\, \color{magenta}3} + \frac{8\, \cdot\, \color{magenta}1}{21\, \cdot\, \color{magenta}1} = \frac{6}{21} + \frac{8}{21} = \frac{14}{21} = \frac{14\; :\; 7}{21\; :\; 7} = \frac{2}{3}$

$γ)$ $\; \frac{7}{8} + \frac{9}{2}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (2, 8) = 8\;$ τότε

$\; \frac{7}{8} + \frac{9}{2} = \overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{7}{8}} + \overset{\overset{\color{magenta}4}{\smile}}{\frac{9}{2}} = \frac{7\, \cdot\, \color{magenta}1}{8\, \cdot\, \color{magenta}1} + \frac{9\, \cdot\, \color{magenta}4}{2\, \cdot\, \color{magenta}4} = \frac{7}{8} + \frac{36}{8} = \frac{43}{8}$

$δ)$ $\; \frac{6}{5} - \frac{2}{3}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (3, 5) = 15\;$ τότε

$\; \frac{6}{5} - \frac{2}{3} = \overset{\overset{\color{magenta}3}{\smile}}{\frac{6}{5}} - \overset{\overset{\color{magenta}5}{\smile}}{\frac{2}{3}} = \frac{6\, \cdot\, \color{magenta}3}{5\, \cdot\, \color{magenta}3} - \frac{2\, \cdot\, \color{magenta}5}{3\, \cdot\, \color{magenta}5} = \frac{18}{15} - \frac{10}{15} = \frac{8}{15}$

Να κάνεις τις πράξεις:

α)

4\; +

\frac{2}{3}\;

=

β)

3\; -

\frac{4}{5}\;

=

γ)

2\; -

\frac{6}{7}\;

=

δ)

5\; +

\frac{1}{8}\;

=

$α)$ $4\; +$ $\frac{2}{3}\;$ $=$ $\; \frac{4}{1} + \frac{2}{3}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (1, 3) = 3\;$ τότε

$\; \frac{4}{1} + \frac{2}{3} = \overset{\overset{\color{magenta}3}{\smile}}{\frac{4}{1}} + \overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{2}{3}} = \frac{4\, \cdot\, \color{magenta}3}{1\, \cdot\, \color{magenta}3} + \frac{2\, \cdot\, \color{magenta}1}{3\, \cdot\, \color{magenta}1} = \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

$β)$ $3\; -$ $\frac{4}{5}\;$ $=$ $\; \frac{3}{1} - \frac{4}{5}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (1, 5) = 5\;$ τότε

$\; \frac{3}{1} - \frac{4}{5} = \overset{\overset{\color{magenta}5}{\smile}}{\frac{3}{1}} - \overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{4}{5}} = \frac{3\, \cdot\, \color{magenta}5}{1\, \cdot\, \color{magenta}5} - \frac{4\, \cdot\, \color{magenta}1}{5\, \cdot\, \color{magenta}1} = \frac{15}{5} - \frac{4}{5} = \frac{11}{5}$

$γ)$ $2\; -$ $\frac{6}{7}\;$ $=$ $\; \frac{2}{1} - \frac{6}{7}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (1, 7) = 7\;$ τότε

$\; \frac{2}{1} - \frac{6}{7} = \overset{\overset{\color{magenta}7}{\smile}}{\frac{2}{1}} - \overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{6}{7}} = \frac{2\, \cdot\, \color{magenta}7}{1\, \cdot\, \color{magenta}7} - \frac{6\, \cdot\, \color{magenta}1}{7\, \cdot\, \color{magenta}1} = \frac{14}{7} - \frac{6}{7} = \frac{8}{7}$

$δ)$ $5\; +$ $\frac{1}{8}\;$ $=$ $\; \frac{5}{1} + \frac{1}{8}\;$ $=\;$ αφού $\; Ε.Κ.Π (1, 8) = 8\;$ τότε

$\; \frac{5}{1} + \frac{1}{8} = \overset{\overset{\color{magenta}8}{\smile}}{\frac{5}{1}} + \overset{\overset{\color{magenta}1}{\smile}}{\frac{1}{8}} = \frac{5\, \cdot\, \color{magenta}8}{1\, \cdot\, \color{magenta}8} + \frac{1\, \cdot\, \color{magenta}1}{8\, \cdot\, \color{magenta}1} = \frac{40}{8} + \frac{1}{8} = \frac{41}{8}$