Love4Math

Μονώνυμα

ΘΕΩΡΙΑ

Ποιες παραστάσεις λέγονται αλγεβρικές και τι ονομάζουμε τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης;

Όπως είδαμε και στο α' μέρος της ενότηταςαλγεβρικές παραστάσεις,αλγεβρικές λέγονται οι παραστάσεις, οι οποίες περιέχουν μεταβλητές και αριθμούς. Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές αυτές με αριθμούς προκύπτει ένας αριθμός, ο οποίος είναι και η τιμή της παράστασης.

Παραδείγματα:

Η αλγεβρική παράσταση $\;2\,x-\,7\,y-10,\;$ για $x=-\,3\;$ και $\;y=-\,2\;$ παίρνει την τιμή:

$2\cdot(-3)\,-7\cdot(-2)\,-10=-\,6\,+\,14\,-10=-\,2$

Ποιες αλγεβρικές παραστάσεις λέγονται ακέραιες;

Ακέραιες λέγονται οι αλγεβρικές παραστάσεις στις οποίες μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης ή του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Παραδείγματα:

Οι αλγεβρικές παραστάσεις $\;3\,x+\,4\,y,$ $-\,23\,α^2+\,β^2,$ $-\frac{3}{4}$ $x,$ $-\sqrt{5}\,x\,-\sqrt{7}\,y\;$ είναι ακέραιες.

Ποιες αλγεβρικές παραστάσεις λέγονται μονώνυμα;

Μονώνυμα λέγονται οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις στις οποίες μεταξύ του αριθμητικού παράγοντα και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.

Παραδείγματα:

Οι αλγεβρικές παραστάσεις $\;5\,x,$ $-\,23\,α\,β,$ $\frac{3}{4}$ $x^2,$ $\sqrt{2}\,x\,ω^4,$ $\;-\;\frac{1}{4}$ $x^2\,y^3$ είναι μονώνυμα.

Ποιος είναι ο συντελεστής και ποιο το κύριο μέρος σε ένα μονώνυμο;

Σε ένα μομώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του, μαζί με τους εκθέτες τους, λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου.

Παραδείγματα:

Στο μονώνυμο $\;9\,x^2\,y^3\;$ ο συντελεστής είναι $9$ και το κύριο μέρος είναι $x^2\,y^3.$

Στο μονώνυμο $-\;\frac{1}{2}$ $α\,β^2.$ ο συντελεστής είναι $-\;\frac{1}{2}$ και το κύριο μέρος είναι $α\,β^2.$

Στο μονώνυμο $\;\sqrt{3}\,x\,y^2\,ω\;$ ο συντελεστής είναι $\sqrt{3}$ και το κύριο μέρος είναι $x\,y^2\,ω.$

Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια;

Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.

Παραδείγματα:

Τα μονώνυμα $\;α^2\,β,$ $-\,3α^2\,β,$ $\frac{3}{5}$ $α^2\,β,$ $-\,\sqrt{3}α^2\,β,$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $α^2\,β,$ $10\,α^2\,β \;$ είναι όμοια.

Ποια μονώνυμα λέγονται ίσα και ποια αντίθετα;

Ίσα λέγονται τα μονώνυμα που είναι όμοια και έχουν τον ίδιο συντελεστή, ενώ αντίθετα λέγονται τα μονώνυμα που είναι όμοια και έχουν αντίθετους συντελεστές.

Παραδείγματα:

Ίσα μονώνυμα είναι: $\;12x\,y\;$ και $\;12x\,y,\;$ $-\,\sqrt{5}α^2\,β^2\;$ και $\;-\,\sqrt{5}α^2\,β^2.$

Αντίθετα μονώνυμα είναι: $\;\frac{3}{5}$ $x\,y^2\,ω$ και $\;-\frac{3}{5}$ $x\,y^2\,ω,$ $-7α\,β\;$ και $\;7α\,β.$

Τι ονομάζουμε βαθμό σε ένα μονώνυμο;

Βαθμός ενός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης αυτής της μεταβλητής. Βαθμός ενός μονωνύμου λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

Παραδείγματα:

Το μονώνυμο $\;2\,x^2\,y$ έχει βαθμό $\;2$ ως προς $x,$ $1$ ως προς $y$ και $\;3$ ως προς $x$ και $y.$

Το μονώνυμο $\;-\frac{1}{5}$ $α\,β^3\,γ^2$ έχει βαθμό $1$ ως προς $α,$ $3$ ως προς $β,$ $2$ ως προς $γ$ και $6$ ως προς $α,$ $β$ και $γ.$

Ο βαθμός ενός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή που δεν υπάρχει στο κύριο μέρος του είναι $0.$

Ποιο μονώνυμο λέγεται σταθερό και ποιο μηδενικό;

Έναν αριθμό μπορούμε να τον θεωρήσουμε και ως μονώνυμο οπότε τον ονομάζουμε σταθερό μονώνυμο. Στην περίπτωση που ο αριθμός είναι το $0,$ τότε αυτό λέγεται το μηδενικό μονώνυμο.

Το μηδενικό μομώνυμο δεν έχει βαθμό, ενώ τα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ποιες από τις αλγεβρικές παραστάσεις

\; 3\,x^2 -\, 4\,y,

8\,α^2\,β,

-\; \frac{1}{7}

x\,y^2,

5\,x\,y + x^2,

\frac{2\,α^3\,β}{3},

12\,x,

-\,6\,y - 1,

\sqrt{7}\,α\,γ^4 \;

είναι μονώνυμα;

Ποια από τα ζεύγη των μονωνύμων

\; α)\; 2\,x\,y

και

\; -\,3\,x\,y

β)\, -8\,α\,β^3

και

\sqrt{5}\,α^3\,β

γ)\,

-\; \frac{4}{5}

x\,ω^2\,y \;

και

\; x\,y\,ω^2

και

δ)\,

\frac{1}{9}

α^2\,β^2

και

\; \frac{4}{9}

α\,β^2

είναι όμοια;

Να βρεις τον συντελεστή και το κύριο μέρος των μονωνύμων

α)\; 16\,x^3\,y

β) -2\,α\,β

γ)\,

\frac{1}{2}

x^2\,y\,ω^2

δ)\,

\frac{4\,y^2\,ω}{3}

ε)\; -\,x\,y\,ω

στ)\; \sqrt{2}\,α^4\,β

$α)\; 16\,x^3\,y \;$ συντελεστής: $16 \;$ κύριο μέρος: $x^3\,y$

$β) -2\,α\,β$ συντελεστής: $-2 \;$ κύριο μέρος: $α\,β$

$γ) \,$ $\frac{1}{2} \,$ $x^2\,y\,ω^2$ συντελεστής: $\frac{1}{2} \;$ κύριο μέρος: $x^2\,y\,ω^2$

$δ)\, \,$ $\frac{4\,y^2\,ω}{3} = \frac{4}{3} \,$ $y^2\,ω \;$ συντελεστής: $\frac{4}{3} \;$ κύριο μέρος: $y^2\,ω$

$ε)\; -\,x\,y\,ω \;$ συντελεστής: $-\,1 \;$ κύριο μέρος: $x\,y\,ω$

$στ)\; \sqrt{2}\,α^4\,β \;$ συντελεστής: $\sqrt{2} \;$ κύριο μέρος: $α^4\,β$

Να βρεις τον βαθμό των μονονύμων

α)\; 5\,x^2\,y

β)\,

-\; \frac{1}{4}

x\,y^3

γ)\; 6\,x\,y

δ)\; -14\,x

ε)\; \sqrt{3}\,x\,y^4 \;

στ)\,

\frac{5}{6}

y^2

ως προς

x,

ως προς

y,

και ως προς

x

και

y.

$α)\; 5\,x^2\,y \;$ βαθμός ως προς $x:2, \,$ βαθμός ως προς $y:1, \,$ και βαθμός ως προς $x$ και $y:3$

$β)$ $-\frac{1}{4}$ $x\,y^3$ βαθμός ως προς $x:1, \,$ βαθμός ως προς $y:3, \,$ και βαθμός ως προς $x$ και $y:4$

$γ)\; 6\,x\,y \;$ βαθμός ως προς $x:1, \,$ βαθμός ως προς $y:1, \,$ και βαθμός ως προς $x$ και $y:2$

$δ)\; -14\,x \;$ βαθμός ως προς $x:1, \,$ βαθμός ως προς $y:0, \,$ και βαθμός ως προς $x$ και $y:1$

$ε)\; \sqrt{3}\,x\,y^4 \;$ βαθμός ως προς $x:1, \,$ βαθμός ως προς $y:4, \,$ και βαθμός ως προς $x$ και $y:5$

$στ)$ $\frac{5}{6}$ $y^2$ βαθμός ως προς $x:0, \,$ βαθμός ως προς $y:2, \,$ και βαθμός ως προς $x$ και $y:2$

Να βρεις τους αριθμούς

\; λ, \, μ

και

\; ν,

ώστε τα μονώνυμα

\; 9α^λ\,β^4 \;

και

\; μ\,α^2\,β^ν \;

να είναι

\; α)

όμοια

\; β)

ίσα και

\; γ)

αντίθετα.

$\; α)$ όμοια: θα πρέπει τα δύο μονώνυμα να έχουν μόνο το ίδιο κύριο μέρος, ο συντελεστής μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, οπότε:

$\; λ = 2,$ $\; ν = 4 \;$ και $\; μ$ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

$\; β)$ ίσα: θα πρέπει τα δύο μονώνυμα να έχουν το ίδιο κύριο μέρος και τον ίδιο συντελεστή οπότε:

$\; λ = 2,$ $\; ν = 4 \;$ και $\; μ = 9.$

$\; γ)$ αντίθετα: θα πρέπει τα δύο μονώνυμα να έχουν το ίδιο κύριο μέρος και αντίθετο συντελεστή, οπότε:

$\; λ = 2,$ $\; ν = 4 \;$ και $\; μ =-\,9.$