Love4Math

Πράξεις με Μονώνυμα

ΘΕΩΡΙΑ

Πως κάνουμε πρόσθεση μεταξύ μονωνύμων;

Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα μονώνυμα θα πρέπει να είναι όμοια. Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Ουσιαστικά χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα και κάνουμεαναγωγή ομοίων όρων.

Παραδείγματα:

$1)-3\,x^2\,y+\,10\,x^2\,y=(-3\,+\,10)\,x^2\,y=7\,x^2\,y$

$2)\;8\,α^3-6\,α^3+\,$ $\frac{1}{2}\,$ $α^3=(8-6\,+\,$ $\frac{1}{2}\,$ $)\,α^3=\,$ $\frac{5}{2}\,$ $α^3$

Όπως είδαμε στο α' μέρος της ενότηταςπρόσθεση και αφαίρεση ρητών αριθμών,η αφαίρεση δύο αριθμών μπορεί να θεωρηθεί και ως η πρόσθεση ενός αριθμού με τον αντίθετο του άλλου. Ο ίδιος κανόνας ισχύει και για τα μονώνυμα.

Πως κάνουμε πολλαπλασιασμό μεταξύ μονωνύμων;

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ή περισσότερα μονώνυμα δεν χρειάζεται να είναι όμοια. Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της.

Παραδείγματα:

$1)\;2\,x\,y^2\cdot4\,x\,y=8\,x^{1\,+\,1}\,y^{2\,+\,1}=8\,x^2\,y^3$

$2)\;$ $\frac{3}{4}\,$ $x\,y\cdot(-8\,y^2\,ω)=\;$ $\frac{3}{4}\,$ $\cdot\,(-8)\cdot x^{1\,+\,0}\,y^{1\,+\,2}\,ω^{0\,+\,1}=-\,6\,x\,y^3\,ω$

Στον πολλαπλασιασμό μονωνύμων χρησιμοποιούμε την εξής ιδιότητα των δυνάμεων: $\;α^κ\,\cdot\,α^μ=α^{κ\,+\,μ}$

Πως κάνουμε διαίρεση μεταξύ μονωνύμων;

Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα δεν χρειάζεται να είναι όμοια. Το πηλίκο μονωνύμων έχει συντελεστή το πηλίκο των συντελεστών τους και κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής την διαφορά των εκθετών της.

Παραδείγματα:

$1)\;12\,x^3\,y^4:4\,x\,y^2=\;$ $\frac{12\,x^3\,y^4}{4\,x\,y^2}\,$ $=$ $\,\frac{12}{4}$ $\,\cdot\;x^{3\,-\,1}\,y^{4\,-\,2}=3\,x^2\,y^2$

$2)\;24\,x^2\,y^5:(-6\,x^3\,y)=\;$ $\frac{24\,x^2\,y^5}{-6\,x^3\,y}\,$ $=$ $\,-\frac{24}{6}$ $\,\cdot\;x^{2\,-\,3}\,y^{5\,-\,1}=$ $\,-\frac{24}{6}$ $\,\cdot\;x^{-1}\,y^4=$ $-\frac{4\,y^4}{x}$

Στην διαίρεση μονωνύμων χρησιμοποιούμε τις εξής ιδιότητες των δυνάμεων: $\;α^κ\,:\,α^μ=α^{κ\,-\,μ}\;$ και $\;\;α^{-κ}=$ $\;\frac{1}{α^κ}$
Το πηλίκο μονωνύμων δεν είναι πάντα μονώνυμο.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να κάνεις τις πράξεις:

α)\, -9\,x\,y\,ω +\, 4\,x\,y\,ω\, -x\,y\,ω =

β)\; 3\,α\,β^2\,γ -2\,α\,β^2\,γ\, +\,7\,α\,β^2\,γ =

γ)\, -8\,x^2\, +\,

\frac{2}{3} \,

x^2 =

δ)\;

\frac{3}{4} \,

y^2\,ω \,

-\frac{2}{5} \,

y^2\,ω =

ε)\; 10\,α^3\,β -6\,α^3\,β -5\,α^3\,β =

$α)\, -9\,x\,y\,ω +\, 4\,x\,y\,ω\, -x\,y\,ω = (-\,9\, +\,4\, -1)\,x\,y\,ω = -\,6\,x\,y\,ω$

$β)\; 3\,α\,β^2\,γ -2\,α\,β^2\,γ\, +\,7\,α\,β^2\,γ = (3 -2\, +\,7)\,α\,β^2\,γ = 8\,α\,β^2\,γ$

$γ)\, -8\,x^2\, +\,$ $\frac{2}{3} \,$ $x^2 = (-\,8\, +\,$ $\frac{2}{3} \,$ $)\,x^2 =$ $-\frac{22}{3} \,$ $x^2$

$δ)\;$ $\frac{3}{4}$ $y^2\,ω \,$ $-\frac{2}{5} \, \,$ $y^2\,ω = \,$ $( \frac{3}{4} -\frac{2}{5} ) \,$ $y^2\,ω = \,$ $\frac{7}{20} \,$ $y^2\,ω$

$ε)\; 10\,α^3\,β -6\,α^3\,β -5\,α^3\,β = (10\, -6\, -5)\,α^3\,β = -α^3\,β$

Να υπολογίσεις τα γινόμενα:

α)\; 3\,x^2\,y \cdot (-2\,x\,y^3) =

β)\, (-\,4\,α^3\,β\,γ^2) \cdot (-5\,α\,β^2\,γ^2) =

γ)\; 6\,x\,ω \cdot 2\,x^2 \cdot (-\,x\,ω^3) =

δ)\; 10\,α\,β\, \cdot

\, \frac{2}{5} \,

α\,β^2 =

ε)\,

(-\frac{2}{3} \,

y^2\,ω

\,) \,

\cdot

\, \frac{1}{6} \,

y^3\,ω^2 =

$α)\; 3\,x^2\,y \cdot (-2\,x\,y^3) = 3 \cdot (-2) \cdot x^{2\,+\,1}\,y^{1\,+\,3} = -6\,x^3\,y^4$

$β)\, (-\,4\,α^3\,β\,γ^2) \cdot (-5\,α\,β^2\,γ^2) = (-4)\,(-5) \cdot α^{3\,+\,1}\,β^{1\,+\,2}\,γ^{2\,+\,2} = 20\,α^4\,β^3\,γ^4$

$γ)\; 6\,x\,ω \cdot 2\,x^2 \cdot (-\,x\,ω^3) = 6 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot x^{1\,+\,2\,+\,1}\,ω^{1\,+\,0\,+\,3} = -12\,x^4\,ω^4$

$δ)\; 10\,α\,β\, \cdot$ $\, \frac{2}{5} \,$ $α\,β^2 = 10\, \cdot$ $\, \frac{2}{5} \,$ $\cdot\, α^{1\,+\,1}\,β^{1\,+\,2} = 4\,α^2\,β^3$

$ε)\,$ $(-\frac{2}{3} \,$ $y^2\,ω$ $\,) \,$ $\cdot$ $\, \frac{1}{6} \,$ $y^3\,ω^2 =$ $\, (-\frac{2}{3}) \,$ $\cdot$ $\, \frac{1}{6} \,$ $\cdot\, y^{2\,+\,3}\,ω^{1\,+\,2} =$ $-\frac{1}{9} \,$ $y^5\,ω^3$

Να υπολογίσεις τα πηλίκα:

α)\; 10\,x^2\,y^2 : (-5\,x\,y) =

β)\, (-\,6\,α^3\,β^2\,γ) : (-12\,α\,β\,γ^2) =

γ)\; 4\,x^2\,ω : \,

(-\frac{1}{4} \,

x\,ω^2

) \,

=

δ)\,

(-\frac{1}{3} \,

x^2\,y^3\,ω

) \,

:

\, \frac{7}{3} \,

x\,y^2\,ω =

ε)\,

\, \frac{6}{5} \,

α^2\,β \, : \, 9\,α^3\,β^2 =

$α)\; 10\,x^2\,y^2 : (-5\,x\,y) =$ $\, \frac{10\,x^2\,y^2}{-5\,x\,y} = -\frac{10}{5} \,$ $\cdot \; x^{2\,-\,1}\,y^{2\,-\,1} = -2\,x\,y$

$β)\, (-\,6\,α^3\,β^2\,γ) : (-12\,α\,β\,γ^2) =$ $\, \frac{-\,6\,α^3\,β^2\,γ}{-12\,α\,β\,γ^2} = \frac{6}{12} \,$ $\cdot \; α^{3\,-\,1}\,β^{2\,-\,1}\,γ^{1\,-\,2} =$ $\, \frac{1}{2} \,$ $\cdot \; α^2\,β\,γ^{-1} =$ $\, \frac{α^2\,β}{2\,γ}$

$γ)\; 4\,x^2\,ω : \,$ $(-\frac{1}{4} \,$ $x\,ω^2$ $) \,$ $=$ $\, \frac{4\,x^2\,ω}{-\frac{1}{4}\,x\,ω^2} = -\frac{4}{\frac{1}{4}} \,$ $\cdot \; x^{2\,-\,1}\,ω^{1\,-\,2} =$ $\, -\frac{4\, \cdot \,4}{1\, \cdot \,1} \,$ $\cdot \; x\,ω^{-1} =$ $\, -\frac{16\,x}{ω}$

$δ)\,$ $(-\frac{1}{3} \,$ $x^2\,y^3\,ω$ $) \,$ $:$ $\, \frac{7}{3} \,$ $x\,y^2\,ω =$ $\, \frac{-\frac{1}{3}\,x^2\,y^3\,ω}{\frac{7}{3}\,x\,y^2\,ω} = -\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} \,$ $\cdot \; x^{2\,-\,1}\,y^{3\,-\,2}\,ω^{1\,-\,1} =$ $\, -\frac{1\, \cdot \,3}{3\, \cdot \,7} \,$ $\cdot \; x\,y\,ω^0 =$ $\, -\frac{1}{7} \,$ $x\,y$

$ε)\,$ $\, \frac{6}{5} \,$ $α^2\,β \, : \, 9\,α^3\,β^2 =$ $\, \frac{\frac{6}{5}\,α^2\,β}{9\,α^3\,β^2} = \frac{\frac{6}{5}}{9} \,$ $\cdot \; α^{2\,-\,3}\,β^{1\,-\,2} =$ $\, \frac{6\, \cdot \,1}{5\, \cdot \,9} \,$ $\cdot \; α^{-1}\,β^{-1} =$ $\, \frac{2}{15\,α\,β}$